Rechenregeln auf einem Blick

Addition

Kommutativgesetz

\begin{align} a+b &= b+a \end{align}

Assoziativgesetz

\begin{align} a+ (b+c) &= (a+b) +c \end{align}

Brüche

Hauptnenner bilden!

\begin{align} \frac{a}{b} + \frac{c}{d} &= \frac{ad+cb}{bd} \end{align}

Multiplikation

\begin{align} n\cdot a = \underbrace{a+ a+\ldots+ a}_{n\text{-mal}} \end{align}

Division ist Multiplikation mit Kehrwert

\begin{align} a\div b = a \cdot \frac{1}{b} = ab^{-1} \end{align}

Wenn kein Rechenzeichen vorhanden ist, ist stets Multiplikation gemeint.

Kommutativgesetz

\[ a\cdot b = b\cdot a \]

Assoziativgesetz

\[ a\cdot (b\cdot c) = (a\cdot b) \cdot c \]

Brüche

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner

\[ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} \]

Division \(\rightarrow\) Multiplikation mit Kehrbruch

\[ \frac{a}{b}\div\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \]

Kürzen

\[ \frac{pa}{pb} = \frac{a}{b} \]

Distributivgesetz

Ausmultiplizieren

Jedes Element in der Klammer wird mit dem Faktor multipliziert.

\[ a \cdot (b+c) = ab+ac \]

Ausklammern / Faktorisieren

Das Element, das als Faktor in jedem Summanden enthalten ist, wird vor die Klammer geschrieben.

\[ ab+ac = a\cdot (b+c) \]

Binomische Formeln

\begin{eqnarray}(a+b)^2 &=& a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2 &=& a^2-2ab+b^2 \\ (a+b)(a-b) &=& a^2-b^2\end{eqnarray}

Potenzen

\[ a^n = \underbrace{a\cdot a \cdots a}_{n\text{-mal}} \]

Multiplikation \(\rightarrow\) Addition im Exponenten

\[ a^n \cdot a^m = a^{n+m} \]

Division \(\rightarrow\) Subtraktion im Exponenten

\[ \frac{a^n}{a^m}= a^{n-m} \]

Potenz einer Potenz \(\rightarrow\) Multiplikation im Exponenten

\[ \left(a^n\right)^m = a^{n\cdot m} \ne a^\left(n^m\right) \]

Negativer Exponent

\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]

Rationaler Exponent

\[ a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p} \]

Wurzeln

Quadratwurzel

\[ \sqrt{a^2} =|a| \]

\[ \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}},\quad a\geq 0 \]

Produkt: unter einer Wurzel zusammenfassen

\[ \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab} \]

Addition: keine Vereinfachung möglich!

\[ \sqrt{a}+\sqrt{b} \ne \sqrt{a+b} \]

\[ \sqrt{a^2+b^2} \ne a+b \]

Teilweises Radizieren

\[ \sqrt{a^2b} = a\sqrt{b},\quad a\geq 0 \]

n-te Wurzel \(\rightarrow\) rationaler Exponent

\[ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \]

\begin{equation} \sqrt[n]{a^n} = a,\quad a\geq 0 \end{equation}