Beispiele aus der klassischen Logik

Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch

A: Es regnet gerade.

nicht ( A und nicht-A ): Es kann nicht sein, dass es gleichzeitig regnet und nicht regnet.

in Symbolen: \( \small \neg ( A \wedge \neg A) \)

oder

\( \small B \): Eine natürliche Zahl ist gerade.

\( \small \neg ( B \wedge \neg B) \): Es kann nicht sein, dass eine natürliche Zahl gleichzeitig gerade und ungerade ist.

Satz vom ausgeschlossenen Dritten

"tertium non datur"

A: Die Erde ist rund.

A oder nicht A: Die Erde ist rund oder sie ist nicht rund. Eins von beiden muss gelten.

in Symbolen: \( \small A \vee \neg A \)

oder

\( \small B \): Eine natürliche Zahl ist gerade.

\( \small B \vee \neg B \): Eine natürliche Zahl ist gerade oder sie ist ungerade.

Aus Falschem kann alles folgen!

Beispiel:

A: Der Mond ist nicht aus grünem Käse. (wahr!)

B: Alle Katzen haben Flügel.

Dann ist folgende Aussage tatsächlich wahr:

Aus nicht-A folgt B: "Wenn der Mond aus grünem Käse ist, dann haben alle Katzen Flügel."

in Symbolen: \( \small \neg A \Rightarrow B \)

Beispiel:

\( A \): Die Zahl 2 ist gerade.

\( B \): Ein Vielfaches von der genannten Zahl ist gerade.

Wie man sich leicht überzeugt ist \( \small A \Rightarrow B \) korrekt:

2 ist eine gerade Zahl, daher ist auch ein Vielfaches davon gerade.

Doch es gilt auch:

2 ist eine ungerade Zahl, daher ist … egal was!

Dieser letzte Punkt hat fatale Auswirkungen: Macht man in einer Beweiskette einen Fehler und nimmt somit eine Aussage als wahr an, obwohl sie es nicht ist, und baut dann auf dieser Aussage weitere Folgerungen auf, so ist ab diesem Punkt der gesamte Beweis wertlos.